Everyone at school heard about the sieve of Eratosthenes. This sieve permits to detect prime numbers. A prime number is a natural number, greater than one, which can be divided only by one and itself. The sieve of Eratosthenes uses the division to work.

Here is something a little bit different. By using only the addition to describe how naturel numbers are organised it is possible to see how primes numbers are “generated”. We add natural numbers and by comparison prime numbers appear. Simple but frustrating because no mystery neither formula*, just a natural organisation. The concise result is a “Prime Numbers Triangle”.

* It seems a wave phenomena drives prime numbers. But what would be the nature of a result of infinity of wavelengths tending towards infinity…?

 Tout le monde à l’école a entendu parlé du crible d’Ératosthène. Ce crible dévoile les nombres premiers. Un nombre premier est un nombre naturel, plus grand que un, qui n’est divisible que par un et lui même ; le crible d’ Ératosthène fonctionne en utilisant la division.

Voici ici quelque chose d’un un peu différent. En utilisant seulement l’addition pour décrire comment les nombres naturels sont organisés, il est possible de voir comment les nombres premiers sont « générés ». On additionne et par comparaison apparaissent les nombres premiers. Simple mais frustrant parce que sans mystère ni formule*, juste une organisation naturelle. Le résumé est un « Triangle des Nombres Premiers ».

* Il semble que le phénomène régulant les nombres premiers soit ondulatoire. Mais quelle serait la nature d’une résultante d’une infinité d’ondes à longueurs tendant vers l’infini…?

The way to built the sieve is:

The exterior right oblique is formed by the succession of odd numbers.

You add 5 to 3, which gives 8

You add 5 to 4, which gives 9

Etc.

It results a series of regulars’ obliques composed by addition of the same number. The first column is composed of the succession of squares.

All odds, which are not in the triangle but are only in the right oblique, are Prime Numbers.

The most interesting thing is the way horizontal lines are designed. Suites are so formed:

n² , (n² -1), (n² - 2²), (n² - 3²), (n² - 4²), … , (2n -1).

Those suites are seen in colours in figure 3. They form the sieve.

In theory, it is possible to start the construction of the sieve from any number and find the succession of all prime numbers between any numbers. It is very elegant to consider it between two consecutive squares. It will show that the amount of Prime Numbers extends regularly between consecutives squares according an increasing range. It will show that the increasing number and its rhythm follow the Gauss’ formula which give the aproximate numbers of Prime Numbers up to a choosen number.

For a better understanding, here is another point of view: The idea is to dispatch integers on different lines with an equal interval between numbers. On the first line are all numbers, on the second we select one every two, the next will be every three, every for, etc. It gives you the following picture:

On construit le crible ainsi:

L’oblique extérieure est formée par la succession des nombres impairs

Vous ajoutez 3 à 1, qui donne 4

Vous ajoutez 5 à 3, qui donne 8

Vous ajoutez 5 à 4, qui donne 9

Etc.

Il résulte une série d’obliques régulières composes par l’addition d’un même nombre. La première colonne est composée de la succession des carrés.

Tous les nombres qui ne sont pas dans le triangle, mais sont seulement dans l’oblique sont des nombres premiers.

La chose la plus intéressante du crible est la forme des suites horizontales qui en résulte:

En théorie, ces suites permettent de démarrer la construction du crible à partir de n’importe quel nombre et de trouver la succession de tous les nombres premiers entre n’importe quels nombres ; le plus élégant étant de rechercher entre deux carrés consécutifs. Cela permettra de constater que la quantité de nombres premiers entre ces carrés augment régulièrement selon une fourchette aussi croissante. On pourra vérifier que nombre et croissance correspondent à la formule de Gauss qui donne approximativement la quantité de nombres premiers jusqu'à un nombre choisi.

Pour une meilleure compréhension voici un autre point de vue: L’idée est de répartir les nombres entiers sur des lignes différentes selon leur écart. Sur la première on les inscrit tous. Sur la seconde on en inscrit un sur deux puis sur la troisième une sur trois, etc. On obtient le tableau suivant:

Here is a new view of the sieve. Each line is an unlimited addition of the same number and could be considered as a simple list of all multiples. We quickly notice that some columns are empty. There all are marked by a prime number. The second fact is those nice aesthetic curves with a shape of a comet. They are those horizontal lines from the first view of the sieve. The third thing to observe is this sort of pyramidal shape around 60 and, “cherry of the Sunday”, two primes numbers on each side! But be carful, it will not be a rule, may be a statistic rule, only. This not the way primes works. So with the next figure just enjoy the view and make your own deductions.

Chaque ligne est donc une addition sans limite d’un même nombre et peut être considérée comme tous les multiples de ce nombre. On note rapidement que des colonnes sont vides. Elles correspondent toutes à un nombre premier. La seconde chose à noter est ces courbes esthétiques en forme de comète. Elles correspondent aux lignes horizontales du premier tableau. La troisième chose est cette forme de pyramide autour du nombre 60. Et, « cerise sur le gâteau », le 60 entouré de deux nombres premiers ! Mais attention, ce n’est pas une future règle, tout juste peut-être une loi statistique. Les nombres premiers ne fonctionnent pas ainsi. Aussi, profitez de la vue du tableau suivant pour faire quelques déductions personnelles.

How Primes Numbers works?

They go in fastidious manner but the law is simple. It is an easy way to colour all the pebbles of an infinite beach with brushes, magical one’s of course. You command all the shingles to be in line and ask a first magical brush to colour one shingle on two with a primary colour cyan, for example, shading to infinite. Then, you ask a second magical brush to put a magenta colour on one pebble on three, shading to infinite. When they are different colours on the same pebble, we obtain others colours. But going forward, sometimes, a shingle has not yet a colour and we need a new colour with a new brush because once the task ordered, we will never se again the brush

Comment fonctionnent les nombres premiers ?

Ils fonctionnent de façon fastidieuse mais la règle est simple. C’est une méthode pratique pour colorer de différentes façons tous les galets d’une plage infinie avec des pinceaux magiques, évidement. Après avoir ordonné à tous les galets de s’aligner, vous demandez à un premier pinceau, magique, de peindre un galet sur deux de la couleur primaire cyan, dégradée à l’infini, un galet sur deux. Puis vous vous demandez à un second pinceau, aussi magique, de peindre un galet sur un sur trois de la couleur magenta, dégradée à l’infini. Lorsque les couleurs se superposent elles se mélangent et à chaque fois vous obtenez des tons différents. Mais régulièrement, en avançant, certains galets ne sont pas encore peints. Et là, il nous faut une nouvelle couleur avec un nouveau pinceau car une fois la tâche assignée on ne reverra plus jamais le pinceau absorbé par sa tâche.

The first line will be the result of a mix of the different colours from the columns. The first column is in white. The second line should be from white to an infinite grey. There is no shingle in the upper left corner: no support, no colour. On the third line, one pebble on two will be painted in cyan, darker and darker. On the fourth line, one shingle on three will be painted in magenta colour, darker and darker. For the fifth line we don’t need a new colour because it is done yet in the corresponding column (Fig. 4a). We notice that on the first line, we already have roughly two third of the pebbles painted in different colours but with the forth columns we need to create a new colour: yellow for example, which the third primary colour. (Fig4b).

Fig 4c has one more new colour, orange, and Fig 4d complete this small portion of the grid.

As we see, this dynamic construction can go infinitely. Each time we encounter an empty column we need a new colour. And it is always a new start. The coloration of the third line covers half of the resultant line. The coloration of the forth line covers a third more (some have double colours) etc.

La première ligne sera le résultat du mélange des couleurs de chaque colonne. La première colonne est en blanc. La seconde ligne est un blanc dégradé gris à l’infini. Il n’y a pas de galet en haut à gauche : pas support, pas de couleur. Sur la troisième ligne on colore un galet sur deux en cyan allant en dégradé foncé à l ‘infini. Pour la quatrième ligne un galet sur trois sera peint en magenta dégradé foncé à l’infini. La couleur de la cinquième ligne est déjà donnée par le premier dégradé de cyan de la seconde ligne. (Fig. 4a). Notons que les galets du début de la première ligne sont déjà grossièrement colorés au tiers mais nous devons trouver une nouvelle couleur pour la quatrième colonne : le jaune par exemple qui est la troisième couleur primaire. (Fig. 4b)

Fig. 4c montre l’orange comme nouvelle couleur et la (Fig. 4d) montre que tous les galets de la première ligne sont peints différemment.

Cette construction dynamique se poursuit indéfiniment. Chaque fois qu’un galet n’est pas déjà peint on a besoin d’une nouvelle colonne. C’est un nouveau départ. La coloration de la troisième ligne couvre la moitié de la première et celle de la quatrième le tiers. Un galet peint sur deux a deux couleurs. Etc.

Bien sur il eut été plus simple de colorer les galets en dégradé de gris ou cyan ; mais où seraient les couleurs ? Et l’esthétique ? Alors, c’est un choix arbitraire !

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